Системы координат/Задачи

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эта статья — часть материалов: курса Аналитическая геометрия

Примеры решения задач[править]

Определение координат вектора или точки относительно заданного базиса[править]

Данная задача равносильна задаче выразить неизвестные вектора через векторы базиса.

Смотри также Нахождение вектора по двум точкам

Пример 1[править]

В трапеции отношение . В базисе

  • определить координаты вектора ;
  • определить координаты точки ;
  • найти координаты вектора , если координаты точки

Координаты вектора :

Координаты точки , очевидно, совпадают с координатами вектора .

Таким образом, .

Координаты вектора находятся из следующего соображения. Очевидно, . Значит, координаты вектора относительно базиса

Связь между системами координат[править]

Polar coordinate components.svg

Рассмотрим ортогональную и полярную системы координат.

Как видно из рисунка, координаты произвольной точки в этих системах связаны соотношением

Линейные операции над векторами, заданными своими координатами[править]

Смотри также Умножение вектора на число

Пример 2[править]

В некоторой аффинной системе координат заданы векторы . Вычислить


Пример 3[править]

Даны векторы . Определить являются ли эти векторы линейно зависимыми.

Если векторы линейно зависимы, то существуют такие числа , что

Обозначим и .

что равносильно системе уравнений

Из второго уравнения . Тогда из первого уравнения , а из третьего . Поскольку оба уравнения привели к одинаковому результату, система векторов линейно зависима.

Проекции[править]

В ортонормированной системе координат даны два вектора и . Найти проекцию вектора на плоскость вдоль направления вектора .

Обозначим искомый вектор . Поскольку он лежит в плоскости , известна одна его координата .

Проектирование вектора равносильно разложению его на сумму




Решением этой системы, очевидно, является
Таким образом, .

Задачи для самостоятельного решения[править]

Если вы хотите, чтобы ваше решение проверил преподаватель факультета математики, пожалуйста, оформите решение в своём личном пространстве и дайте ссылку на него на странице обсуждения.

  1. Основание прямой призмы — прямоугольная трапеция , у которой известно отношение оснований , — прямой. — высота трапеции. Точка — середина стороны . Точка — середина стороны .
    В базисе
    • определить координаты точек ;
    • определить координаты векторов .
  2. Найти связь между прямоугольной, цилиндрической и сферической системами координат.
  3. Вычислить для векторов
  4. Определить являются ли эти линейно зависимыми следующие тройки векторов.
  5. В ортонормированной системе координат даны два вектора и . Найти проекцию вектора на плоскость вдоль направления вектора .